＜初期デザインのセットアップ＞

このトピックではSUSS MicroOptics FC-Q-250マイクロレンズアレイを使って二本のコーニングSMF-28eファイバを結合するコマーシャルファイバカップラを解説します。



製造元のデータは以下の通りです：
Single Mode Fiber, Corning SMF-28e 1
Numerical Aperture：　0.14
Core Diameter：　8.3µm
Mode Field Diameter @1.31 μm：　9.2 ± 0.4 μm
　
Microlens Array, SUSS MicroOptics SMO399920 2 　
　Substrate material：　Fused Silica
　Substrate thickness：　0.9 mm
　Internal Transmission：　>0.99
　Lens Diameter：　240 µm
　Lens Pitch：　250 µm
　Radius of Curvature：　330 µm
　Conic Constant：　0
　Numerical Aperture：　0.17

添付のzipファイル（このトピックの最後からダウンロードできます）にある single mode coupler.zmx はこのシステムをどのように実現するかを示しています。

次の事項にご留意ください：

・ 物体面－第1面間および最終面－像面間の距離は妥当な値と思われる0.1mmを手入力してあること。
この値は後で最適化の過程で計算されます。

・最終面－像面間の距離に、物体面－第1面間の距離とまったく同一にするためにピックアップ ソルブが使われていること。
レンズとファイバは（製造元の公差範囲で）同一であるため、この光学系は両方向で機能し、したがって対称なはずです。

・ 2枚のレンズの間隔は試験に使われる距離の2ｍｍと設定してあること。
この値もまた後の最適化で計算されます。

・ システム アパーチュアは第1レンズの後ろ側の面に [float by stop size] を使って設定されていること。
これはシステム アパーチュアがレンズの物理的なアパーチュアで設定されることを意味します。
この光学系で伝播させるファイバモードはこの物理的アパーチュアでクリップすることが可能です。
この例では、ファイバモードは物理的アパーチュアよりも著しく小さいです。

・ 用語“numerical aperture”に存在する複数の定義に注意すること。
この用語には以下の3つで使用されることがあり、定義は重要です。
1. マージナル光線角度の正弦
2. 強度が1/e^2となる角度の正弦
（後にわかるように、ZEMAXでは双方の定義とも異なる計算で使用します）
または
3. Corningで使用されるような強度がピークの１％となる角度の正弦

・ 光のガウシアン分布を強調するために、ガウス アポダイゼーションがアパーチュア定義に適用されていること。
現状ではこれは単なる概算ですが、後に使う計算では正確なものとなります。

・ レンズがそのアパーチュアの大部分にわたって回折限界であり、ファイバモードによって照射される範囲にわたって回折限界であること。

＜近軸ガウシアンビーム計算の使用＞

近軸ガウシアンビーム計算は、ファイバカップラの性質の把握に使うもっとも簡単な解析ツールです。
システムパフォーマンスの”感触“を得るのに使うことが推奨されています。
Corningのデータシートによれば1.31 µでのモードフィールド直径は9.2 ± 0.4 µmです。
したがって近軸ガウシアンビーム計算 (Analysis > Physical Optics > Paraxial Gaussian Beam) を次のように設定します：



ビームウエストは、常に第一面（今回の場合、物体面と同位置）に相対して配置されます。
したがってガウシアン ウエストの4.6µは光源ファイバの位置に置かれます。
そして光学系を通して伝播します。



この結果から1/2e^2ビームサイズが第3面で65µ、第4面で70µであることがわかります。
これらの面での物理的半径は120µです。
このことはビーム幅の約2倍の外側の部分が切り取られていることを意味します。
またビームが像面でベストフォーカスになっていません。
対称性の仮定に基づいて4.6µであるべきところが、5.3µとなっています。
ここで第1面の厚さを最適化してこれを改善してみます（ピックアップ ソルブによって第5面の厚さも制御されます）。
（製造元の公差範囲で）同一のレンズとファイバを使用しているため、両方向に使ってもこの光学系は同一の結合を得られると考えられます。
このことから最適な系は対称であるという予想から、第5面の厚さにピックアップ ソルブが使われていることにご留意ください。

ZEMAXにはファイバとカップラレンズ間の距離を最適化するためにGBPS（Gaussian Beam Paraxial Size）という最適化オペランドがあります。
この光学系が対称形である場合に最も良い結果を得られることから、所望のガウシアンビームサイズが4.6µであることが解ります。
これにより一行のメリットファンクションを定義するだけで最適化が行えます。



ファイバ－レンズ間距離の最適化で、ファイバ－レンズ間距離0.117 mmと次のガウシアンビームデータが得られます。



これが単純な近軸ガウシアンビーム計算の限界です。
この時点でのファイルはafter Gaussian optimization.zmxとして保存されています。

＜シングルモードファイバ結合計算の使用＞

シングルモードファイバカップリング計算（Analysis > Calculations > Fiber Coupling Efficiency）はガウシアン形状モードのファイバについてより強力な能力を持っています。
この機能は：エネルギー伝達計算、モードマッチング計算の二つの計算を行います。
システム効率(S)は、光学系を通過し入射瞳によって収集されるエネルギーの和を光源ファイバから放射された全エネルギーの和で除したもので、光学系のビネッティングと透過 ( 偏光を使用する場合) の両方を考慮しています。



ここで、Fs(x,y) は光源ファイバの振幅関数で、分子の積分は光学系の入射瞳に対してのみ計算されます。
t(x, y)は光学系の振幅透過関数です。
透過は、[use polarization] (偏光を考慮する) にチェックを入れた場合、バルク吸収と光学コーティングの影響を受けます。

光学系の収差は位相のずれの原因になり、ファイバ内の結合に影響を与えます。
最大結合効率は、受光ファイバに収束する波面のモードが、波面のすべての点における振幅と位相のファイバ モードと完全に一致する場合に得られます。
これは、ファイバと波面の振幅との間の正規化された重なり積分として数学的に定義されます。



ここで、 Fr(x,y) は受光ファイバの複素振幅を表現する関数で、 W(x,y) は光学系の射出瞳からの波面の複素振幅を表現する関数です。
' 記号は複素共役を表します。
なお、これらの関数は複素値であるため、これはコヒーレントな重なり積分になります。

T の最大許容値は 1.0 で、ファイバーの振幅や位相と波面の振幅や位相との間に不一致がある場合には減少します。

ZEMAX で、S 値と T 値が計算されます。
全パワー結合効率は、これらの数値の積になります。
理論上の最大結合効率も計算されます。
この値は収差を無視して、すべてのビネッティングと透過、およびモード間の振幅の不一致を考慮したものです。

この計算で光源と受光モードは、それぞれのガウシアンNAで定義され、これは物体空間または像空間面の屈折率 nに1/e^2パワーとなる点の半角の正弦を乗じて定義されています。
この角度は二つの方法のいずれかで計算できます。

・ モードフィールド直径を使用しビームウエストを定義したガウシアンビーム計算の広がり角度からの計算（前頁の計算法）
・ Corningデータシートで提供される1％パワーのNAと、それから算出される1/e^2パワー点とからの計算

前項の Paraxial Gaussian Beam の Object 面の Divergence が 9.04E-2 ラジアンであることことから、光源ファイバと受光ファイバの妥当なNA値は0.09 であることがわかるので、計算の設定は次の通りです。



この設定で次の結果が得られます：



以下のようにメリットファンクションの一行だけを使って、FICL オペランドを用いて結合効率を最適化することができます。



そして最適化を２，３サイクル行うと、（単純な近軸ガウシアンビーム計算では0.117だったのに対し）ファイバ―レンズ間の厚さ0.110 mmを得ることができます。
詳細結果は次の通りです。



次の項目にご注目ください：

・わずかなデフォーカスでは変化しない面のアパーチュアとモードのサイズで設定されているため、システム効率は大きくは変化していない。

・ デフォーカスによって光源ファイバモードが光学系通過後に受光ファイバモードとよりよいマッチングとなるため、受光効率が向上している。

・たとえば非球面の追加、面の追加などによって、最大効率が向上することを示唆している。
今回の場合では最大の効率を実現しています。

この時点までのファイルはafter FICL optimization.zmxとして添付のアーカイブに保存されています。

＜物理光学（Physical Optics）計算の使用＞

シングルモードファイバ結合効率の計算はPhysical Optics Propagation（物理光学伝搬）を使用することで飛躍的に拡張できます。
結合は依然として重なり積分によっておこなわれますが、Physical Opticsには次の大きな利点があります。

・ 任意の複雑なモードが定義でき、計算がガウシアンモードに限定されない。

・ ファイバ結合の重なり積分は、受光ファイバモードがわかっていれば任意の面で計算できる。
これはファイバを表す面を含む（限定されるわけではない）。

・ ビーム伝播法やFDTD法を使った外部プログラムでファイバのモード構造（または統合された光学機器）の計算に使用でき、これを.zbf ファイル形式またはDLL インタフェースを使ってこの計算で使用するのに適当な複素振幅分布として表現できる。

・長距離伝播またはビームがアパーチュアで切り取られることに起因する回折効果が正確にモデルできる。

POP計算を設定するにはAnalysis > Physical Optics > Physical Optics Propagationをクリックし、次のオプションを選択します：







これにより、ビームウエスト半径4.6 µのガウシアンモードを第一面から開始して、同一モードとの重なり積分が計算される像面まで伝播するように設定します。
[Beam Definition] タブでは256 x 256のサンプリングを選択し、Autoボタンでアレイの初期サイズを設定します。

[Physical Optics Propagation] ウインドウはファイバ結合効率をレポートします（下の図の赤枠内を参照）。
最適化オペランドPOPDは、全てのPhysical Opticsデータをメリットファンクション エディタを通じてレポートしますので、より有用な参考データとなります。
POPDオペランドに関する詳細はマニュアルの最適化の章をご参照ください。
POPDオペランドはPOP解析ウインドウで保存された設定を使用しますので、まだ設定を保存されていない場合は、今保存してください。

以下は像面での結合ビームの位相と、カプラの重要データです：



POPD Data Description Value
0 Total Fiber Coupling 0.994
1 System Efficiency 0.998
2 Receiver Efficiency 0.996
10 Pilot Beam Waist 4.57 μm
23 Effective Beam Width 4.84 μm
26 M2 1.082


位相は注目すべき最も重要な性質で、それは放射照度プロファイルがほぼ完全なガウシアン(M^2 が 1.082)だからです。
受光モードの位相はどこでも正確にゼロなので、位相が直接ミスマッチの度合いを教えてくれます。
位相を表示するには、POPウィンドウの設定の[Display] タブをクリックします。



放物項と4次項を示している位相プロファイルの形にご注目ください。
これらはフォーカスと球面収差に等価です。
またレンズのエッジで位相プロファイルが切り取られていることにもご注目ください。
システム効率から、１%未満のエネルギーがレンズのサイズのために失われていることがわかります。

ファイバ結合効率を最適化すると、わずかに改善が見られます（ファイバ―レンズ間隔のみが変数であることにご注意ください）。



POPD Data Description Value
0 Total Fiber Coupling 0.994
1 System Efficiency 0.999
2 Receiver Efficiency 0.996
10 Pilot Beam Waist 4.57 μm
23 Effective Beam Width 4.84 μm
26 M2 1.081

わずかなエネルギーの部分でしか位相エラーの大部分が起きていないため、ファイバ結合は大きくは改善されていません。



｛このプロットはPOPウインドウから放射照度のクロスセクションのクローンをつくり(Window > Clone)、クローンの設定で強度の代わりに位相を表示させ、次にWindow...Overlayで放射照度プロットにオーバレイして作成しました｝

この時点でのファイルはafter POP.zmxとして保存してあります。

ここまでで、近軸ガウシアン、シングルモード、フルPOP計算の相違が少なく、解析がより複雑になるほど物理的な洞察が利用可能になりますが結果は類似していました。
しかしながらカプラが長くなると、回折効果がより重要となり、アプローチ方法の違いとPOP手法の優位性がより明らかとなってきます。

レンズとレンズの距離が20ｍｍに設定されると、光線ベースのシングルモード結合計算はほぼ変化せず：FICLは結合効率0.99をレポートします。
これはこの空間での光線がほぼコリメートされていて、光線が常に直線的に伝播するからです。

しかしPOP計算は結合効率をほぼ半分の0.57を予測します。
これはガウシアンモードが回折し、二つのレンズ間の空間でそのサイズが変化するからです。
20 mm伝播後、ガウシアンモードは1/ e^ 2でのサイズが0.15 mmとなり、レンズサイズの0.12 mmと同程度になります。
結果として、この放射照度のオーバレイが第二レンズのアパーチュアの直前と直後でおきるため、かなりのエネルギー量が第二レンズのアパーチュアで回折されています。
ビームの位相プロファイルがこれを示しています。
受光ファイバにフォーカスするビームはガウシアンをかなり逸脱し、M^2は2.45となります。





これは光線で見られるのとは異なります。
レイアウト上でy-scale を拡張して観察できる光線の分布は次のようになります。





実際、球面収差によって光線は第１レンズより第二レンズ上のほうが小さくなることを示しています。
ほぼ平行ビームで長距離を伝播させるときは、POP計算のほうがより正確な光線追跡となります。

さらにPOPはカプラの厳密な最適化を可能にします。
ファイバ―レンズ間距離を（既に最適化済みなので）固定に設定し、20mmのレンズ間隔を変数として数サイクルの最適化を実行すると、最適なレンズ間隔として2.072 mmを得ます。
実験的に2mmが見出され、これらの値の差はわずかです。
ユニバーサルプロット（Universal Plot）を使い、２つのレンズ間隔の変化に対するファイバ結合効率の感度を観察することができます。



同様に、光源ファイバモードから受光ファイバに伝播するとともに、レンズ－レンズ間隔変化によりビーム品質パラメータM^2を以下のように変化させます。

＜面の透過率とバルク吸収の考慮＞

ここまでの計算では、ZEMAXで詳細なモデルが可能な、面での反射と材料のバルク吸収を無視しました。
POPにも、シングルモードファイバ計算にも、設定メニューに偏光計算を可能にするUse Polarizationスイッチがあり、面の透過率と体積吸収を考慮するようにすることができます。

after POP.zmx サンプルファイルを再び開き、ファイバ結合効率計算とPOP計算 の設定で"Use Polarization"を選択し、その設定を保存してください。
次にGeneral > Polarizationを選択し、入射偏光をlinear in yに設定します。



結果としてPOPとFICL計算での結合効率は86%付近に落ちます。
これがシステム効率（エネルギー伝播）での変化で、モード結合での変化ではないことにご注意ください。
偏光の効果は角度の関数としては非常に遅すぎて、より極端な系ではそれによる変化があるかもしれませんが、この系ではモード形状が変化しません。

Tools > Coatings > Add Coatings to All Surfacesを選択し全てのガラス面にMgF2の単層コーティングを適用してください。



このコーティングを付与することで結合効率が向上することにご注目ください

偏光 　　　　　　なし 　　有 　　　有 　　　有
コーティング 　 なし 　　なし 　 AR 　　HEAR1
POPD 　　　　　99% 　86% 　92% 　98%

＜まとめと参考文献＞

ZEMAXは包括的なファイバモデリング能力を備えています。

・ 最も簡単な近軸ガウシアンビームはシステムの感触をつかむことと一次的性質を知るのに便利

・ 光線ベースファイバー結合計算はファイバモードがガウシアンで回折効果が無視できる場合に有用

・ POPは包括的なファイバ結合のモデル化が可能で、ソースまたは受光ファイバとしてあらゆる複雑なモードを利用可能とし、回折による影響を完全に再現可能

・ 薄膜コーティングと材料の吸収も考慮することが可能

・ FICLとPOPDオペランドで光学系の最適化が直接可能

・ 最適化と同一のオペランドで公差解析が達成可能

外部参照文献：
1. Corning Datasheet PI1446, April 2005
2. SUSS Micro-Optics FC-Q-250 Microlens array

本トピックで使用される実験データは、Suss MicroOptics SA 社の Dr. Reinhard Voelkelの提供によるものです。